Refik ARKUT

Yansımalar

Köprüler ve yollar

18.nci yüzyılda Königsberg (şimdiki Kaliningrad) kasabasının ortasından geçen Pregel nehri üzerinde, nehrin içindeki iki adaya ve kıyılara ‘bağlayan’ yedi köprü mevcuttu. Kasaba sakinlerinin pazar öğlen sonraları bu köprüler üzerinde yürüyüşleri, kendilerine çözümünü
merak ettikleri bir bulmacayı sormalarına neden oldu. Acaba bu köprüleri sadece bir kez geçerek ve tüm köprülerden geçip yürüyüşe başladıkları yere gelinebilir mi?
Bu bulmacanın çözümünün bir yolu, tüm olası seçeneklerin tek tek denenmesi ve olumlu bir seçenek varsa bunun bulunması. Fazla kilo sorunu olanlar için iyi bir yöntem! Ancak yürümek için acele etmeyin. Königsberg’te bu seçeneklerin sayısı, her adaya veya nehir kıyısına geldiğimizde iki seçeneğimiz olduğundan, kabaca 2 üssü n (n köprü sayısı) olduğundan 128 olur. Şayet Venedik gibi n = 420 köprülü bir şehirde bu ‘kaba kuvvet’ kullanımı ile problemi Venedikliler çözmeye kalkarlarsa ve bilgisayar hızı ile – örneğin her milisaniyede bir seçenek değerlendirilirse – bile tüm olası seçeneklerin hesaplanması için evrenin yaşı bile yeterli olmaz. Matematikçi Leonhard Euler, Königsberg problemini çözmek için 1736’da şöyle düşündü. Bir kağıdın üzerine nehrin iki kıyısı ve iki adayı temsil etmek üzere 4 nokta (düğüm) koydu ve her köprü için hangi düğümleri birleştiriyorsa, bunları bir çizgi (dal) ile birleştirdi. Çizge kuramı (graf teorisinin) – bağlantıların matematiği – ilk çizgesini böylece çizdi. Sonra genel olarak n düğümlü bir çizge için yukarıda sorulan bir yol olması için gerek ve yeter koşulları veren teoremi kanıtladı. Artık yürüyüp çözüm bulmak için uğraşan Königsberg’liler rahat ettiler. Kasabalarında böyle bir yol olması mümkün değildi. Çizge kuramında bu tip bir yolun bir çizgede bulunması durumunda bu çizgeye ‘Euler çizgesi’ denir. Günümüzde çizge kuramı kesikli matematiğin önemli bir kolu olup hemen hemen her bilim alanında (kimya, mühendislik, fizik, bilgisayar bilimleri, sosyal bilimler, ...) uygulama alanı bulmaktadır.
Yarın işe gitmek için evden çıktığınızda hangi yolu seçeceksiniz? Aşikar olarak cevap: ‘en kısa yolu’, değil mi? Fakat herkes böyle düşündüğü zaman ‘en kısa yolda’ yığılmaya neden olacağınızı da biliyorsunuz. Yığılmaya neden olacağınızı bile bile bu davranışı seçmenize, ‘oyunlar kuramında’, bencil yönlendirme (selfish routing) denir. Herkes bir an önce işine gitmek istediği böyle durumda ‘gecikme’ kaçınılmaz olur. Acaba herkes yolların trafik durumuna bakarak işbirliği yapar ve yollardaki trafik miktarını sınırlayabilse ulaşım zamanını iyileştirebilir mi? Tim Roughgarden doktora(1) çalışmasında, bencil oyuncuların ağda işbirliği yapmadan davranışları sonucunda oluşacak ‘refah kaybını’ (social welfare) incelemiş. Ayrıca en-kötü kaybın olduğu durumu inceleyerek, bencil yönlendirmenin neden olacağı ‘anarşinin bedelini’ (price of anarchy) hesaplamıştır. Dahası, bencillikle başedebilmek ve anarşinin bedelini azaltabilmek için basit merkezi denetim mekanizmaları geliştirmiştir. Burada yararlanılan iki örneği özetleyelim. İlki, 1920’de bulunan Pigou örneği diğeri 1968’de keşfedilen Braess çelişkisi (paradoksu) örneği. Pigou örneğinin gösterdiği, iyi bilinen ve önemli bir prensip:’ bencil davranışın sosyal en iyi sonucu vermesi gerekmez’. Braess çelişkisi bu kadar aşikar değil: ‘bencil davranışın geçerli olduğu sistemde ağ (ulaşım) geliştirmeleri ağ (ulaşım) başarımını (performansını) düşürebilir’. Ağ oyunlar teorisine merakınız varsa Roughgarden’nin çalışmasını tavsiye ederim.
21.nci yüzyılda İstanbullular, boğazın iki yakası arasında bulunan iki köprüden beklemeden geçebilmek için, köprünün birinin bakım-onarımının bitmesini beklemekteler. Bir kere, bu sorunu ‘en az bekleme problemi’ olarak tanımlarsak, bir ‘matematik problemidir’. Hoşunuza gitmemiş olabilir, ancak Tanrı’nın tam sayıları yaratmasının ve ‘nedenselliğin’ sonucu bunu veriyor! Ben bu sorunun cevabı konusunda çok çalışmadım. Fakat kullanılması gereken yöntemler ve konular arasında aklıma gelenleri burada sıralamak istiyorum.
Yığılma konusu hakkında daha önce de yazmıştım. Yığılmadan kaçınılabilir mi ve nasıl?

  • Yeni kapasite yaratılması: ( maliyetli ve zaman gereksinimi bulunuyor),
  • Akıllı çözümler bulunması: (trafik yığılmalarının önüne geçilmesinin en geçerli yolu, trafik yığılması başladığı zaman ağ sistemine giren trafiğin ‘boğulması’, azaltılmasıdır. Trafik ışıkları esasen bu işi yapıp trafiği düzenler),
  • Yığılmayı teşvik etmeme:
    • Farklılaştırılmış fiyatlandırma: (örneğin, trafiğin yığılma sürelerinde geçerli olmak üzere fiyatların arttırılması. Telekom operatörlerinin yüklü saatteki trafiği zamana yaymak için buldukları bir yöntem!),
    • Evden çalışmanın teşvik edilmesi: (gerçekten ben bu işi anlamıyorum, herkes sabah sabah işyerlerine koşup, oraya varınca büyük kısmı ilk iş bilgisayarlarını açıp çalışmaya başlıyorlar. Evlerinde geniş bant İnternet erişimi yok mu?),
    • Gerçek-zamanlı trafik bilgilerinden yaralanma,
    • Akıllı ulaşım sistemleri kurulumu ve yönlendirme.
  • Kurallara uymamanın bedelinin arttırılması, işbirliği davranışların teşvik edilmesi,
  • İlgililerin ayrıştırılması prensibi (separation of concerns). Dijkstra’nın bulduğu bu prensip bilgisayar algoritmalarında iletişimi yerel bölgelerde yoğunlaştırmayı amaçlar. Bizim köprüler meselesinde, örneğin – işyeri ve çalışma yerinin ayni yakada olmasının teşvik edilmesi gibi.

Daha birçok iyileştirme alanı sıralanabilir, eminim bu çalışmalar yetkililerce yapılmakta. Burada şunu belirtmekte yarar var, bu çalışmaların tümü matematik temelli olmalıdır. Matematiğin ne kadar önemli bir alan olduğunu, yalnız köprü veya trafik meselesinde değil, önümüze çıkan her sorunun çözümünde gerekli olduğunu anlamalıyız. Belki bir gün ‘Uygulamalı Matematik Araştırma Merkezi’ gibi bir girişimi görebiliriz. Köprüye baktıkça / TV’de izledikce, aklıma gelenler bunlar. Bir çözüm olmalı.
Sizlere iyi tatiller dilerim.
(1) : Tim Roughgarden, ‘Selfish Routing and the Price of Anarchy’, The MIT Press, 2005.